您的位置:首页

详情

引领代数拓扑学创新发展——河北师范大学特聘教授吴杰

2021-09-15

 

在数学上,三个顶点可以形成一个三角形的二维结构,实现相互间的联动;四个顶点可以形成一个四面体的三维结构从而形成互动。如此下去,会呈现出一个具有高维结构的几何体,在大数据的情况下,这种几何体的结构会变得极为复杂。这正是代数拓扑中的抽象单纯复形的思想。代数拓扑,又称同伦论,主要是以代数方法研究几何对象,通过制定特定的运算规则和一系列的算法程序,经过计算来得到结果。用代数的方法来研究拓扑,就是要将妙不可言的拓扑用代数来进行分析,让拓扑变得具体化、形象化。河北师范大学特聘教授吴杰数十年来致力于代数拓扑的研究及其与低维拓扑和群表示论的交叉研究,在几何与拓扑研究几何体的形状及其变换的数学领域作出重要贡献。
 
1 破解代数拓扑经典难题
同伦论是一个古老且重要的数学研究方向。辫子群、链环群及其同伦群的组合刻画,是同伦论中的经典难题,也是代数拓扑的核心课题。早在20世纪50年代初,同伦群的研究就涌现出一系列成果。国外科学家通过建立单纯群作为回路空间的组合模型,可以对一个拓扑空间的同伦群给出理论性的组合描述;20世纪90年代,科学家发现了三维球面的一般同伦群的具体组合描述,通过单纯群的方法技巧,又意外地挖掘出三维球面同伦群与经典辫子群的重要联系,推动了同伦论与低维拓扑的交叉研究。
吴杰在美国罗切斯特大学数学系研究期间意外发现,三维球面的一般同伦群同构于一个精确给定生成元与关系组的组合群的中心,这一成果证明了三维球面同伦群同构于纯辫子群在一个精确的组合群上的作用的不动点,建立了辫子群与同伦群的直接联系,系统性地建立了Brunnian辫子群与同伦群的一系列本质性关系。该成果受到国际科学界的高度评价,吴杰因这一突破获得了2007年新加坡国家科学奖。
进一步地,吴杰通过论证给出了任意维球面一般同伦群的精确组合描述,将三维球面同伦群的组合描述大幅推广到任意维的球面,解答了同伦论已故领袖之一M.Mahowald于1994年提出的同伦论经典难题。吴杰团队还进一步建立链环群与单纯群的关系,关于同伦论与低维拓扑的交叉研究也帮助其获得三维流形Heegaard分解的新的信息。其在同伦群组合刻画的研究方法不同于传统方法,越来越多地吸收了来自低维拓扑及群表示论的一些方法。
 
2 co-H-空间回路的分解研究
对于数学对象的分类性研究,一般将对象进行分解,同时探索其不可约或不可分解的性质。针对co-H-空间回路自然分解的研究,是吴杰在代数拓扑领域的又一突破。在同伦论中,大量的关于同伦群的信息正是通过研究回路空间的分解得到的。吴杰等突破了传统方法对给定空间回路的分解,对一个空间X的双角锥的回路空间ΩΣX作为空间到空间的函子进行研究,将ΩΣ的自然分解转化为置换群Σn的模Lie(n)的模表示论问题,并由此解决了Cohen猜想,揭示了同伦论与置换群的模表示论之间的本质性关联。
在非稳定同伦论领域,mod 2 Moore空间的研究是所有Moore空间中最难的一类空间,有别于其他Moore空间,大量的情况到了mod 2 Moore空间的情况属于未知。在这一领域,吴杰与国外学者合作,构造出无限多个mod 2 Moore空间的同伦群中的指数为8的元素,并证明了三维球面的高阶同伦群是射影平面的双角锥的同伦群的直和因子。其关于mod 2 Moore空间的同伦论的系统性研究引入了一些群表示论方法,成功解决了诸多经典问题。吴杰用组合方法研究同伦群的指数问题,建立了同伦群指数问题与辫子群的重要联系,并开创性地建立构型空间的单纯结构,由此建立了同伦论与辫子群的本质性联系。
 
3 创新推动代数拓扑的应用
代数拓扑透过很多同伦不变量研究几何体,如同调群、同论群。从大数据角度,这些拓扑不变量成为能够反映大数据出现群体互动等高维结构的数学工具。2009年以来,以持续同调为主要工具的拓扑数据分析诞生并得到迅猛发展,现在已经成为欧美的热门领域,其应用遍及与数据分析相关的各个科技领域。
近年来,吴杰致力于推动代数拓扑的应用,按照“基础理论与技术应用双向互动”的思路展开探索,在拓扑基础理论、拓扑数据分析、拓扑分布式计算、拓扑机器人学等领域多层次地推动学科建设,尤其是在拓扑数据分析及其在生物学中的应用、超图同调等领域取得创新性进展,并已在相关领域实现应用。在超图同调的创新中,吴杰对于拥有打分机制的图数据引入了超持续同调概念,给出了同时适用于云数据与图数据的统一的拓扑数据分析方法,未来将适用于“图的高维拓扑与几何结构、复杂工业互联网数据分析、脑科学数据分析、神经科学数据分析”等不同领域。
代数拓扑不是关起门来做数学游戏的自娱自乐的学科,未来代数拓扑学必将在学科交叉中进一步融合发展,推动科学技术的进步。在代数拓扑学的研究中,吴杰建立了低维拓扑与同伦论的基础性联系,可以用辫子群或链环群等几何群去描述球面同论群,打通两大领域的管道,还打通了同伦论与模表示论的管道。这一系列研究成果不仅可以强化数学领域的发展,更可以应用于推动科技网络的建设。